Hace casi un siglo, Hassler Whitney sentó las bases de lo que hoy se conoce como Teoría de Matroides, también llamadas geometrías combinatorias. Este nombre sugiere que, además de ser objetos interesantes por sí mismos, describen propiedades geométricas y topológicas de manera computacional. Se revisan algunos conceptos fundamentales como el rango y el número ciclomático de una gráfica $G$ y cómo esto permite definir numéricamente la dualidad en gráficas.

En esta charla se habla sobre el problema de caracterizar por subgráficas inducidas prohibidas a las gráficas $z$-bicoloreables y $z$-cocoloreables cuando nos restringimos a las familias de gráficas $P_4$-escasas y $P_4$-extendibles.

La ponencia aborda el cálculo discreto en el marco del cálculo cuántico, una teoría que reformula nociones fundamentales del análisis (derivación e integración) prescindiendo de límites y operando sobre una retícula geométrica determinada por un parámetro. Tras presentar definiciones básicas de diferencial, derivada e integrales tipo Jackson, así como nociones de monotonía y convexidad, se desarrollan nuevas desigualdades integrales que extienden resultados clásicos a este contexto no tradicional. En particular, se presentan desigualdades tipo Bullen.

En esta charla se habla sobre la clase de las gráficas cuyo conjunto de vértices admite una partición en un conjunto independiente y un conjunto que induce una gráfica multipartita completa. En particular, se presentan los avances sobre los problemas de reconocerlas y caracterizarlas por medio de subgráficas inducidas prohibidas.

Una coloración estelar de una gráfica $G$ es una coloración propia de vértices tal que, para cualquier par de colores, la subgráfica inducida por esas dos clases cromáticas es una colección de estrellas disjuntas (equivalentemente, todo camino $P_4$ en $G$ usa al menos tres colores). El mínimo número de colores en una coloración estelar se denota por $\chi^\star(G)$. En esta plática se revisan resultados recientes sobre $\chi^\star(G)$ en la clase de las gráficas cordales, con énfasis en gráficas escindibles (split) y en $k$-árboles (más específicamente, $k$-trayectorias). Se presentan cotas y construcciones de $k$-coloraciones estelares en familias relevantes, y se discuten caracterizaciones mediante obstrucciones mínimas para la $k$-coloración estelar en algunos de estos casos; es decir, gráficas minimales (respecto a subgráficas inducidas) que no admiten una $k$-coloración estelar. En particular, se muestra cómo la ausencia de ciertas configuraciones inducidas permite construir dichas coloraciones.

Un subconjunto $S \subseteq V(G)$ es de visibilidad mutua si para cada par de vértices $u, v \in S$ existe una geodésica $P$ tal que $V(P) \cap S = \{u,v\}$. La gráfica de conjuntos de visibilidad mutua de una gráfica $G$, denotada por $VM(G)$, es la gráfica cuyos vértices son todos los conjuntos de visibilidad mutua de $G$ y dos vértices son adyacentes si comparten exactamente un vértice o una arista. En esta plática se habla de la conexidad de $VM(T)$ donde $T$ es un árbol, así como de algunas otras propiedades de esta gráfica.

Previamente en trabajo de investigación de doctorado se ha trabajado con familias de conjuntos compactos conexos que cumplen ciertas propiedades de intersección o de incidencia en otros conjuntos. Partiendo de una aplicación topológica del Teorema KKMS Politopal propuesto por Komiya en politopos compactos convexos, se han encontrado algunas cotas superiores para cierto número de Helly en un teorema propuesto en geometría discreta, específicamente en teoría geométrica de transversales. Actualmente el reto es encontrar cotas inferiores para este mismo teorema, para lo cual se utilizan familias específicas de gráficas coloreadas para construir familias de compactos conexos con las propiedades deseadas.

En esta charla se presenta una versión dinámica del problema clásico de Schur, en la que las coloraciones interactúan con las órbitas de un sistema dinámico. En lugar de colorear conjuntos estáticos de enteros, se colorea un espacio y se estudia cuánto tiempo puede evolucionar la órbita de un sistema dinámico antes de forzar la aparición de una tripleta monocromática que satisfaga $a+b=c$. Con esto se introduce el número de Schur dinámico y se explica cómo se relaciona con el número de Schur clásico. Después se aborda el caso de las rotaciones del círculo, donde la interacción entre aritmética, geometría y coloración produce fenómenos notables. En particular, se muestra que bajo ciertas coloraciones hay ternas que son imposibles, y que a pesar de esto el parámetro dinámico es suficientemente rico para recuperar los números de Schur clásicos mediante búsquedas computacionales. De esta manera la introducción de la dinámica permite abordar el problema de una manera distinta al caso clásico.

Cuando se lleva a cabo una reforestación por parte del gobierno, esta debe cumplir con ciertos requisitos impuestos en el diario oficial de la reforestación, donde se especifica un porcentaje de supervivencia de la plantación por año. Aunque se trata de cumplir con esta disposición, aun así hay mortandad en el área en reforestación y por lo tanto pérdida de recursos económicos por volver a plantar, aumentando los costos de la operación. Esto se debe a que no hay una distribución de las especies a plantar más allá de la proporcionada por la experiencia. Se ha presentado previamente un modelo de optimización que minimiza la competencia entre especies y así aumenta la supervivencia, pero tiene el inconveniente de no ser viable operativamente ni en escalabilidad. En esta nueva entrega se propone un modelo que permite crear patrones de siembra, lo cual facilita la operación en campo, además de encontrar valores óptimos de porcentaje demandado de plantas por especie.

Se construyen multigráficas coloreadas a partir de conjuntos de diferencia, utilizando Python y el paquete de LaTeX TikZ, para hacer dibujos de estas multigráficas, las cuales son muy estéticas pero, debido a la gran cantidad de aristas que tienen, es necesario un programa especializado para dibujarlas. Además, pueden ayudar a ilustrar algunos resultados de conjuntos de diferencia e incluso a generalizarlos.

Una sucesión de cola periódica es una sucesión $s_1, s_2, s_3, \ldots$ con $s_i \in \mathbb{Z}$, tal que existen enteros $t$ y $p$ con $s_i = s_{i+p}$ para todo $i \geq t$. Dada una gráfica $G$, su gráfica de clanes $K(G)$ es la gráfica de intersección de todos los clanes (maximales) de $G$. Se definen las gráficas iteradas de clanes por $K^0(G) = G$ y $K^n(G) = K(K^{n-1}(G))$. Las muchas técnicas y herramientas desarrolladas por más de medio siglo en teoría de gráficas de clanes han dado un control muy fino sobre las construcciones posibles. Como ejemplo de tal control fino, se muestra en esta plática que cualquier sucesión de cola periódica puede ser realizada con gráficas de clanes: dada una sucesión de cola periódica $s_1, s_2, s_3, \ldots$, existe una gráfica $G$ tal que $|K^n(G)| = |G| + s_n$ para todo $n \geq 1$.

Sea $G = (V, E)$ una gráfica simple finita y sea $k \in \mathbb{Z}^+$. En este trabajo se estudia el comportamiento del diferencial de la $k$-subdivisión $kG$, obtenida al subdividir cada arista de $G$ exactamente $k$ veces. El diferencial de un subconjunto $D \subseteq V$ está dado por $\partial(D) = |B(D)| - |D|$, y el diferencial de la gráfica $\partial(G)$ es el máximo de $\partial(D)$ sobre todos los subconjuntos de vértices. El principal objetivo es establecer cotas inferiores y superiores ajustadas para $\partial(kG)$ en función de $k$ y de diversos invariantes clásicos de gráficas. Además, los resultados permiten describir propiedades estructurales relevantes de los conjuntos diferenciales en $kG$, aportando una mejor comprensión de cómo la operación de subdivisión afecta este parámetro.

Sea $H$ una subdigráfica de una digráfica $D$. Una oreja de $H$ en $D$ es una trayectoria o un ciclo en $D$, cuyos extremos pertenecen a $H$ pero sus vértices internos no. Una descomposición en orejas de una digráfica fuerte $D$ es una sucesión anidada $(D_0, D_1, \ldots, D_k)$ de subdigráficas fuertes de $D$ tal que: 1) $D_0$ es un ciclo, 2) $D_{i+1} = D_i \cup P_i$, donde $P_i$ es una oreja de $D_i$ en $D$, para toda $i \in \{0,1,\ldots,k-1\}$, y 3) $D_k = D$. En esta plática se presenta la familia $LE_i$ de digráficas fuertes con una descomposición en orejas tal que cada oreja tiene longitud al menos $i \geq 1$. Se muestra que las conjeturas de Laborde–Payan–Xuong, de la segunda vecindad de Seymour, y la conjetura del cuasinúcleo pequeño son ciertas para las digráficas en $LE_i$ con $i \geq 2$. También se muestra que si $D$ está en $LE_2$, entonces $D$ es 3-coloreable. Finalmente, se muestra que el número cromático orientado de las digráficas asimétricas en $LE_i$ es a lo más 6 con $i \geq 3$, y la cota es justa. Adicionalmente, se presenta una familia infinita de digráficas asimétricas en $LE_2$ cuyo número cromático orientado no está acotado.

Se dice que una gráfica 2-coloreada en aristas $G$ es casitransitiva si para cada 3-trayectoria $uvw$ tal que el color de $uv$ es distinto del color de $vw$ se tiene que $uw$ es una arista de $G$. En esta charla se define la composición coloreada $F[H_1, \ldots, H_p]$, donde $F$ tiene orden $p$ y todas son 2-coloreadas en aristas casitransitivas. Se presentan condiciones para garantizar que esta composición tiene una trayectoria hamiltoniana alternante o incluso un ciclo hamiltoniano alternante.

Se presenta una nueva manera de calcular los coeficientes de Kronecker que surgen de la Teoría de Representaciones del grupo simétrico. En esta plática, de contenido geométrico, se introduce una nueva familia de politopos convexos racionales llamados politopos columna-renglón, los cuales son subconjuntos de politopos de transporte generalizados. Los coeficientes de Kronecker se obtienen como sumas alternadas de números de puntos enteros en politopos columna-renglón. Cada coeficiente se puede calcular con el algoritmo de Barvinok. Se muestra la dimensión máxima de estos politopos. Además de calcular coeficientes de Kronecker, es posible obtener a partir de los politopos algunas propiedades de los coeficientes, como condiciones suficientes para que los coeficientes se anulen y propiedades de estabilidad.

En este trabajo se estudia el número de subdivisión de dominación romana de una gráfica, es decir, el mínimo número de aristas que se deben subdividir en una gráfica para que el número de dominación romana aumente. Se estudia dicho parámetro, se calcula explícitamente para algunas familias de gráficas y se muestran algunas nuevas directrices a tomar en la investigación.

En esta charla se presenta el Diagrama de Voronoi de orden $k$, un algoritmo para construirlo, y una aplicación novedosa en clasificación.

Sea $G$ una gráfica conexa y $k \geq 2$ un entero. Un $k$-corte restringido de aristas es un conjunto $W \subseteq E(G)$ tal que $G - W$ no es conexa y toda componente conexa en $G - W$ tiene al menos $k$ vértices. Dada una coloración de las aristas de $G$, un corte es heterocromático (o arcoíris) si todas sus aristas reciben colores distintos. Se denota por $h(G,k)$ el mínimo entero $p$ tal que toda $p$-coloración de las aristas de $G$ contiene un $k$-corte restringido heterocromático. En este trabajo se presenta un problema de tipo anti-Ramsey para cortes restringidos de aristas, con cotas superiores e inferiores para $h(G,k)$ en función de algunos parámetros de $G$, como el número de aristas, el orden y la conexidad por vértices.

En este trabajo se determina el número de dominación global y de dominación global total en las gráficas divisores de cero de anillos conmutativos finitos con neutro multiplicativo, cuya cintura es 4 y cuando no existe cintura. Asimismo, se obtienen algunas relaciones entre el diámetro de la gráfica divisores de cero con el número de dominación global.

En esta plática se trabaja con dibujos de $K_n$ en el plano, permitiendo intersecciones entre aristas no adyacentes, conocidos como dibujos simples. Se analiza la información combinatoria que estos dibujos determinan alrededor de cada vértice, la cual está codificada por el sistema de rotación de una gráfica: especificar, para cada vértice, el orden cíclico en que aparecen las aristas incidentes. Dado un sistema de rotación $R$ de $K_n$, es posible decidir si puede realizarse mediante un dibujo simple analizando los sistemas de rotación de tamaño 5 contenidos en $R$. Sin embargo, este criterio no es un procedimiento eficiente para generar todos los sistemas realizables. Actualmente se busca un método más eficiente; existe la conjetura de que cualquier sistema válido puede obtenerse a partir de otro mediante una sucesión de modificaciones locales pequeñas. La plática se orienta hacia la exploración de esta posible conectividad.

En esta charla se presenta un modelo distribuido de reconexión de aristas en gráficas planares. El proceso de reconexión inicia con una gráfica planar embebida en el espacio euclidiano, la cual se comporta como un sistema distribuido, donde cada vértice dispone de aristas estáticas y dinámicas. La reconexión propuesta evoluciona a través de ciclos, en los cuales los vértices lanzan paquetes que exploran la gráfica mediante caminantes aleatorios y algoritmos como Compass Routing. Con la información de las trayectorias de los paquetes, los vértices identifican posibles atajos y reconectan sus aristas dinámicas. Las decisiones de reconexión están sujetas a restricciones de distancia euclidiana y geodésica.

Los índices topológicos se han utilizado ampliamente en diferentes campos relacionados con la investigación científica. Son reconocidos como herramientas útiles en la investigación aplicada en Química, Ecología, Biología, Física, entre otros. Durante muchos años, los científicos han intentado mejorar el poder predictivo del famoso índice de Randić. Esto ha llevado a la introducción y el estudio de nuevos descriptores topológicos que correlacionan o mejoran el nivel de predicción del índice de Randić. Entre los descriptores más utilizados se encuentran el índice inverso, el primer índice generalizado de Zagreb y el recientemente introducido índice aritmético-geométrico. En este trabajo se estudian las propiedades y relaciones matemáticas del primer índice topológico de Zagreb.

Sea $G = (V, E)$ una gráfica de orden $n$. Sea $\lambda \in \mathbb{N}$; una $\lambda$-coloración propia de $G$ es una asignación de $\lambda$ colores a los vértices de $G$ de manera que ningún par de vértices adyacentes tengan el mismo color. A $G$ se le puede asociar un polinomio $P(G, \lambda)$ que cuente el número de $\lambda$-coloraciones propias distintas de $G$, denominado el polinomio cromático de $G$. Se define una relación de equivalencia $\chi$ sobre gráficas conexas del mismo orden, donde dos gráficas son $\chi$-equivalentes si y solo si tienen el mismo polinomio cromático. Si $G$ es una gráfica tal que en su clase inducida por $\chi$ es el único elemento, se dice que $G$ es $\chi$-única. Se define para $\lambda \in \mathbb{N}$ el factorial descendente $(\lambda)_k = \lambda(\lambda-1)(\lambda-2)\cdots(\lambda-n+1)$. En esta presentación se estudian algunas familias de gráficas que son $\chi$-únicas para cada orden $n \in \mathbb{N}$ y se analiza para algunas familias una expresión de su polinomio cromático en función de factoriales descendentes.

Una gráfica $G$ se llama amiba local si, para todo par de copias de $G$ sobre el mismo conjunto de vértices $V$, existe una forma de llegar de una a la otra a través de un número finito de reemplazos de aristas tales que, tras cada reemplazo, se obtiene una gráfica isomorfa a $G$. En esta plática se presenta parte del trabajo de doctorado en el que se relaciona el problema de encontrar emparejamientos balanceados en coloraciones de las aristas de una gráfica completa con las amibas y las herramientas que estas ofrecen.

Una coloración acíclica de una digráfica que maximiza el número de colores tal que cada clase de color tiene un vértice apuntando al resto de clases y tiene un vértice al que le apunta un vértice de cada una del resto de clases se conoce como el número dib-cromático de una digráfica. En esta charla se responde la pregunta sobre la existencia y se estudia el número dib-cromático en digráficas bipartitas.

Dados enteros $d, r > 0$, el Teorema de Tverberg (1966) asegura que si tenemos $X \subset \mathbb{R}^d$ con $|X| = (d+1)(r-1)+1$, entonces es posible dividir $X$ en conjuntos $X_1, \ldots, X_r$ tales que $\bigcap_{i=1}^{r} \mathrm{conv}(X_i) \neq \emptyset$. Aunque el teorema asegura la existencia de una partición, en el caso $r > 2$ el número de particiones no es único. En esta plática se revisa un enfoque para estudiar, dado un conjunto $X$, cómo se relacionan las particiones entre sí.

Una $(r,z,g)$-gráfica mixta es una gráfica que es $r$-regular en aristas, $z$-regular en flechas (tanto in-regularidad como ex-regularidad), y que tiene cuello $g$. Una $(r,z,g)$-jaula mixta es una $(r,z,g)$-gráfica mixta de orden mínimo, denotado por $n(r,z,g)$. Se presenta una cota mejorada para cualquier $(r,z,g)$-jaula mixta y una cota para las $(r,z,4)$-jaulas mixtas, la cual fue posible encontrar gracias a un programa que construye jaulas mixtas de manera exhaustiva tomando en cuenta simetrías.

In this article, we study the total domination number and the $k$-domination number of the subdivision graph operator $S(G)$ for simple graphs $G$. First, we obtain a closed formula for the total domination number of this well-known graph operator. Additionally, for $k \geq 2$, we obtain the exact value of the $k$-domination number of $S(G)$. The picture is notably different when considering the case $k = 1$, i.e., the domination number. In this case, we obtain some general bounds on the domination number of $S(G)$, which we further improve when $G$ is a tree. Finally, we provide closed formulas for the domination number of the subdivision graph of some well-known composite graphs.

Dado un entero $\ell \geq 1$, un $(1,\leq\ell)$-código identificador en una digráfica es un subconjunto de vértices dominante $C$ tal que todos los subconjuntos distintos de vértices de cardinalidad a lo más $\ell$ tienen in-vecindades cerradas distintas dentro de $C$. En esta charla se muestra que toda digráfica línea $k$-iterada con in-grado mínimo al menos 2 y $k \geq 2$, o con in-grado mínimo al menos 3 y $k \geq 1$, admite un $(1,\leq\ell)$-código identificador con $\ell \leq 2$, y en cualquier caso no admite un $(1,\leq\ell)$-código identificador para $\ell \geq 3$. Además, se muestra que el número identificador de una digráfica línea está acotado inferiormente por el tamaño de la digráfica original menos su orden, y que esta cota inferior se alcanza para gráficas orientadas con grado mínimo de entrada al menos 2.

Inspirados por un resultado de Fröberg, fueron definidos los $k$-complejos de corte total de una gráfica por Bayer et al. En el artículo donde fueron definidos se hicieron varias conjeturas, una de las cuales es sobre el tipo de homotopía de estos complejos simpliciales para las potencias de ciclos. En esta plática se habla de esta familia de complejos y de sus duales de Alexander —los cuales fueron definidos de manera independiente por Kim y Lew para estudiar problemas de transversales de conjuntos independientes—. Se presentan algunas de las propiedades básicas de estas dos familias, sus relaciones y cómo estas sirven para resolver parcialmente la conjetura anteriormente mencionada.

Graham, Lovász y Pollak obtuvieron una fórmula para el determinante de la matriz de distancia de árboles, la cual depende del número de vértices. Después, Hou y Woo obtuvieron la forma normal de Smith. En esta charla se presenta un resultado que extiende estos resultados a los $k$-árboles.

Si $G = (V(G), E(G))$ es una gráfica conexa simple, $S$ es un subconjunto de $V(G)$, y $B(S)$ es el conjunto de vecinos de $S$ en $V(G) - S$, entonces el diferencial $\partial(S)$ se define como $|B(S)| - |S|$. El diferencial de $G$, denotado por $\partial(G)$, es el valor máximo de $\partial(S)$ para todos los subconjuntos $S$. En esta charla se presentan relaciones entre $\partial(G)$ y $\partial(Q(G))$. Además se muestran resultados que relacionan el diferencial $\partial(Q(G))$ con invariantes de gráficas conocidos de $G$, como el número de dominación, el número de independencia y el número de cobertura de vértices.

Una jaula es una gráfica regular con cuello fijo y la menor cantidad posible de vértices. Existen muchas generalizaciones de las jaulas. Una de ellas es permitir que existan dos o tres grados fijos en lugar de pedir la regularidad; estas se llaman jaulas bi o tri-regulares. En esta plática se habla sobre cómo construir jaulas tri-regulares y cómo usar las gráficas de voltaje para obtener jaulas bi-regulares.

Se presentan cotas justas para los números de visibilidad ordinaria y total de las gráficas formadas por los segmentos rectilíneos disjuntos de un dibujo de $K_n$ en el plano.

¿Puede una figura tener vértices como un tetraedro y proyectar sombras circulares como una esfera? Se presenta un cuerpo de ancho constante que combina estas características aparentemente contradictorias, definido por los vértices de un tetraedro unidos por seis aristas elípticas. Se explora la geometría detrás de su construcción y se revela el secreto que guardan sus aristas.

Se demuestra una conjetura de Víctor Neumann-Lara y Jorge Luis Arocha: todo $k$-bosque máximo es tenso (es un árbol).